注意到答案即为$$\large \sum_{i=1}^{+\infty}i\times x^{i-1}\times (1-x)$$

提出$$(1-x)$$，可得原式$$\large =(1-x)\times (1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n)$$，其中 $$n \rightarrow \infty$$

设$$S=(1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n)$$

$$xS=x+2x^2+3x^3+...+(n+1)x^{n+1})$$

$$(1-x)S=1+x+x^2+...+x^n=$$$$x^{n+1}-1\over x-1$$

故 $S=$$1-x^{n+1}\over (x-1)^2$

因为$0$$<$$x$$<$$1$

故$$\lim_{n\rightarrow+\infty} -x^{n+1} \rightarrow 0$$

此时$S \rightarrow $$1\over (x-1)^2$

所以原式$=(1-x)\times S=$$1\over 1-x$

UPD： 这个结论可以用来解决noip2018初赛T9

抽到蓝球（钥匙）的期望是1/(1-1/2)=2（轮），所以篮球期望抽到1个，红球2-1=1个

所以是1:1